SAT 수학의 함정 (1)
보스톤코리아  2013-11-25, 12:25:24 
필자의 지난 주 "SAT 마지막 대비" 칼럼에서 SAT 수학 문제에 대해 잠깐 논했다. SAT 에서 고득점을 받기 위해선 당연하게도 모든 영역에서의 실수를 최소화해야 한다. 학생들이 흔히 실수하는 문제의 유형을 함께 풀어보며 실수를 줄이는  방법에  대해 이야기해 보자. 

<Question 1>
Carlos begins with twice as much money as David. After Carlos gives $12 to David, Carlos still has $10 more than David. How much money did they have combined at the start?

문제 자체는 Algebra I 수준의 단순한 방정식을 이용해 미지수(x)를 찾는 문제이다. 하지만 이렇게 간단하다고 생각되는 문제에 함정이 숨어있거나, 충분히 검산을 하지 않아 틀리는 경우를 많이 보아왔다. 기본적으로 이런 Word Problem 이 나오는 경우, 변수(variable) 혹은 미지수를 이용해 접근하게 된다. 

예를 들어, "let C = money that Carlos has in the beginning, and let D = money that David has in the beginning." 이라는 식으로 변수 C 와 D 를 세워놓고 대수식(algebraic equation)을 시작하면 된다. 하지만 이 간단한 단계에서 함정에 빠질 수 있다. 

아마 대부분의 학생들은 문제 지문의 첫 문장: "Carlos begins with twice as much money as David." 를 읽자마자 바로 C = 2D 라는 공식을 쓸 것이다. 하지만 문제가 물어보는 것이 "How much money did they have combined at the start?" 이기 때문에 변수 "C"가 Carlos 가 현재 (계산이 시작되기 전) 가진 돈의 액수라는 것을 확실하게 정립해 놓은 후에 식을 세워놓는 것이 좋다. 

다음 문장인 "After Carlos gives $12 to David..."에는 어떤 함정이 숨어 있을까? 가장 흔하게 볼 수 있는 실수는 아까 첫 번째 과정에서 세운 C = 2D 라는 공식을 그대로 가져와 사용하는 경우다. 예를 들어 Carlos 가 David 에게 $12을 주었기 때문에 C - 12 = 2D + 12 라는 식이다. 하지만 두 개의 식은 서로 무관하기 때문에 새로운 식을 써야 한다. 

다시 말하면, 처음 정해놓은 C 와 D 라는 변수만을 써서 식을 세워야 한다는 뜻이다. 이 와중에 C - 12 = D 라는 식을 세우는 친구들이 있다. Carlos 가 준 $12만 생각하고 David 가 받은 $12을 생각하지 못한 경우다. 혹은 반대로 David 가 받은 $12만 생각하고 Carlos 가 준 $12은 생각하지 못한 경우도 있다. 

문제에서 주어진 모든 정보를 수식화해서 써놓는 습관을 들여야 불필요한 실수를 막을 수 있다. 이 경우에는 식을 쓰기 전에 C -12-> D 라는 표기를 미리 해놓는다면 쉽게 Carlos 와 David 의 변화를 적용할 수 있다. 즉, "After Carlos gives $12 to David" 라는 문장은 C - 12 = D + 12 라는 식으로 변환되어야 한다. 

정보를 제대로 해석하지 못해 잘못된 수식을 쓰는 경우도 있다. 분명 “Carlos still has $10 more than David” 이라고 나와있음에도 "10"을 수식에 잘못 표현하는 경우이다. 예를 들어, (C - 12) + 10 = D + 12 라는 식이다. Carlos 가 $10이 더 많다고 했기 때문에 단순하게 Carlos 의 돈을 표현하는 변수 C가 있는 쪽에 10을 더한 오류다. 

당연히 식의 왼쪽이 더 크기 때문에 오른쪽에 10을 더해 표기해야 한다. 결과적으로 "After Carlos gives $12 to David, Carlos still has $10 more than David."의 문장을 대수식으로 나타내면 C - 12 = (D + 12) + 10 라는 식이 된다. 

이후에는 단순한 치환식(substitution method)을 통해 문제를 풀면 된다. 처음 세웠던, C = 2D 의 식을 문제에서 설명한 C - 12 = (D + 12) + 10 식에 대입해서 2D - 12 = (D + 12) + 10 라는 식을 세우면 되겠다. 

모든 상수(constant)를 정리하면 D = 34 가 나오고, C = 2D 에 다시 대입하면 C = 68 이 나온다. 그렇다고 답으로 34 혹은 68을 쓰게 되면 식을 다 풀어 놓고도 문제의 마지막 함정에 빠지게 된다. 분명 문제에서 "How much money did they have combined at the start?" 를 물어봤기 때문에 우리가 찾고 싶은 답은 바로 C + D 즉, 68 + 34 = 102 이다. 
(다음 칼럼에 계속)


오승준 (Albert Oh)  
SD Academy 원장
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